群论

课程编码：280216070200P1002 英文名称：Group Theory 课时：60 学分：3.00 课程属性：学科核心课 主讲教师：李康等

本课程为物理学一级学科研究生的学科核心课。主要学习群论与群论方法在物理学对称性研究中的基本应用，重点要求掌握群及其线性表示的基本理论，掌握点群、置换群、三维转动群及SU(2)群的基本性质。通过本课程的学习，希望学生掌握群论的基本知识，特别是学会用群论研究物理系统对称性质的方法。

线性代数、量子力学

第一章 绪论 1学时 李康
第1节 绪论
第二章 线性代数复习 3学时 李康
第1节 线性空间和矢量基，线性变换和线性算符
第2节 相似变换，本征矢量和矩阵对角化，矢量内积
第3节 幺正矩阵、厄米矩阵、正交矩阵、实对称矩阵的概念和性质，矩阵的直乘
第三章 群的基本概念 14学时 李康
第1节 群的定义及一般性质，物理系统中经常用到的群，群的简单分类、生成元与秩
第2节 有限群的重排定理及乘法表
第3节 子群，陪集，拉格朗日定理
第4节 共轭元素，共轭等价类，不变子群和商群
第5节 同态和同构的定义及相关概念
第6节 同态核定理，群的直积
第7节 点群的定义及分类，N阶循环群的定义、构造、生成元、子群、类等概念
第8节 正N边形对称群DN 的定义、构造、生成元、子群、类等概念，以及在正多边形系统中的应用
第9节 正多面体对称群T群、O群和I群 的定义、构造、生成元、子群、类等概念，以及在正多面体系统中的应用
第10节 I型和P型非固有点群的定义及构造
第11节 晶体结构的数学抽象，晶体系统中平移、旋转、及其复合等对称性操作，平移群、空间群、简单空间群、晶体点群等概念
第12节 晶体点群（11种固有点群和21种非固有点群）
第13节 点群操作对晶格形状的限制，七大晶系
第14节 点群操作对原始格子上增加不破坏原始格子对称性点的限制，14种布拉菲格子和73种简单空间群
第四章 群的线性表示理论 16学时 李康
第1节 线性表示的定义、特征标，真实表示、非真实表示、恒等表示、自身表示、幺正表示、实正交表示
第2节 群的表示空间，等价表示，有限群表示的幺正性
第3节 有限群的可约表示与不可约表示的定义及一般性质
第4节 群空间，群函数，群代数
第5节 有限群的正则表示及其性质，内禀正则表示
第6节 舒尔定理及其推论
第7节 正交定理及其推论
第8节 表示的完备性
第9节 商群的不可约表示，表示的直乘，直乘群的表示
第10节 分导表示和诱导表示
第11节 有限群不可约表示特征标表的构造，循环群、D2群、D3群、D4群的特征标表
第12节 T群、O群的特征标表
第13节 定态波函数按对称群表示分类，有限群直乘表示的约化，克莱布施-戈登级数与系数
第14节 维格纳-埃伽定理，不可约张量算符及其矩阵元
第15节 正则简并与偶然简并，选择定则
第16节 物理应用举例
第五章 置换群 10学时 何颂
第1节 置换群的基本概念，轮换和轮换结构
第2节 置换群的类、交变子群，置换群的生成元
第3节 投影算符，群代数的不可约基
第4节 群代数的理想和幂等元
第5节 有限群群代数的分解
第6节 杨图、杨表、杨算符，置换群群代数的原始幂等元
第7节 置换群的不可约标准表示
第8节 置换群的不可约正交表示
第9节 置换群不可约表示的内积，克莱布施-戈登级数与系数
第10节 置换群不可约表示的外积，Littlewood-Richardson规则，分导表示的约化
第六章 三维转动群 12学时 何颂
第1节 SO(3)群的定义及简单性质
第2节 SU(2)群的定义及简单性质
第3节 SO(3)群与SU(2)群的同态关系
第4节 李群的基本概念、生成元、伴随表示
第5节 SO(3)群与SU(2)群的群空间及其连通性和连通度
第6节 紧致李群上的积分、线性表示理论
第7节 SO(3)群与SU(2)群的欧拉角参数化
第8节 SU(2)群的不等价不可约表示
第9节 SO(3)群与O(3)群的不等价不可约表示
第10节 SU(2)群直乘表示的约化，克莱布施-戈登级数与系数
第11节 标量场、矢量场、旋量场、张量场及其在空间转动下的变换规则
第12节 SO(3)群、SU(2)群与角动量理论的联系，不可约张量算符，维格纳-埃伽定理
第七章 SU(N)群的张量表示 1学时 何颂
第1节 SU(N)群的张量表示
第八章 洛伦兹群与庞加莱群简介 1学时 李康
第1节 洛伦兹群与庞加莱群简介

李康，杭州师范大学教师。
何颂，中国科学院理论物理研究所研究员。