微分几何及其在物理中的应用

课程编码：480139070201P3015 英文名称：Differential Geometry and its Application to Physics 课时：50 学分：2.50 课程属性：专业课 主讲教师：刘震宇

本课程为物理学各专业研究生的基础课，同时也是理论物理、数学物理专业硕士、博士研究生必修的专业基础课程。当前的理论物理和数学物理学研究涉及相当深广的现代数学知识。本课程主要内容为微分流形和黎曼流形及其在物理学中的应用。通过本课程的学习，希望学生能掌握物理学所需微分几何的基本知识和技巧，为进一步的学习和研究打下基础。

数理方法、量子力学

第一章 微分流形和微分形式—-流形上的分析学简介 12.0学时 刘震宇
第1节 平面上平行线相交于无穷远点和 RP2，射影空间， 拓扑结构和拓扑空间，拓扑流形和局部坐标系，微分流形的基本概念， Grassmann 流形等， 微分同胚群，光滑函数环；
第2节 对偶空间，张量代数和外代数；
第3节 切空间和余切空间，切矢量丛和余切矢量丛及其截面空间简介，微分形式，流形间映射及其各种诱导映射，矢量场李代数；
第4节 外微分算子及其性质，De Rham 上同调群；
第5节 流形的定向，单位分解和积分，Stokes定理；
第6节 微分形式理论在理论力学、热力学、电动力学中的应用。
第二章 Frobenius定理和李导数 8.0学时 刘震宇
第1节 对合分布，积分子流形，Frobenius 定理的几种表示形式，
第2节 微分方程的可积性；物理学中的可积性系统；
第3节 单参数变换群和李导数， 物理量的无穷小变分；
第4节 一些重要公式的推导。
第三章 仿射联络和协变微分 8.0学时 刘震宇
第1节 活动标架，仿射联络，曲率形式和协变微分；
第2节 曲率张量，挠率张量，协变外微分；
第3节 Bianchi恒等式，结构方程；
第4节 平行移动，和乐群（Holonomy group），量子物理中Berry phase的几何解释。
第四章 黎曼流形 12.0学时 刘震宇
第1节 度规张量场及其局部构造，指标的提升与下降，Hodge算子，余微分，黎曼联络，
第2节 黎曼曲率和挠率，Wely 张量， 一些几何量的无穷小形变，Bianchi恒等式和黎曼几何的结构方程；
第3节 等距变换群，共形变换群，Killing矢量场和Kinging方程等；
第4节 引力场的作用量和Einstein场方程，自旋联络，Killing旋量场，
第5节 矢量场的奇点，Gauss-Bonnet 定理
第6节 Rn 中的子流形，非线性σ-model及其它物理应用。

刘震宇，长春光机所研究员(二级），获德国弗莱堡大学教授资格认证和授课资格。
以机械设计和制造为核心，致力于精密机械相关的光学、力学、热学、流体、电磁、控制等领域的应用研究和工程设备研发。