代数数论进阶I

课程编码：480002070101P3022 英文名称：Advanced Algebraic Number Theory I 课时：40 学分：2.00 课程属性：专业课 主讲教师：迟敬人

19世纪初，高斯在勒让德等人工作的基础上证明了著名的二次互反律。此后，数学家们一直致力于将互反律推广到更一般的数域。在1900年的世界数学家大会上，希尔伯特更是将此问题列为了当时亟待解决的23个问题之一。在高木贞治、Artin等数学家的努力下，这个问题最终在上世纪30年代被完全解决。现在这个理论被统称为“类域论”。这是代数数论领域20世纪上半叶最伟大的成就，它也在现代数论的许多应用中起到了关键性的作用。
在本课程中，我们将按照Artin和Tate的方法，从群的上同调理论开始，完整地给出局部和整体类域论的推导。在建立了类域论之后，我们还将讨论这个理论在伽罗华上同调中的应用，证明包括Tate局部对偶定理、Poitou--Tate整体对偶定理等重要的基本定理。
通过本课程的学习，学生将系统地学习类域论及其相关的重要应用，掌握伽罗华上同调的基本知识和技术，为今后在数论领域及其相关方向上开展研究工作打下坚实的基础。

代数数论

第一章 类域论介绍 4.0学时 迟敬人
第1节 阿黛尔的定义与性质
第2节 伊戴尔与理想类群
第3节 整体与局部的Artin互反律
第4节 类域论的经典描述：Hilbert类域
第5节 Kronecker-Weber定理
第6节 代数Hecke特征与一维伽罗华表示
第二章 群的上同调 2.5学时 迟敬人
第1节 基本定义与性质
第2节 Shapiro引理
第3节 Tate同调群
第4节 杯积与Tate定理
第三章 伽罗华上同调 2.5学时 迟敬人
第1节 投射有限群的上同调
第2节 Inf-Res长正和列
第3节 Kummer理论
第4节 Brauer群
第四章 局部类域论 7.0学时 迟敬人
第1节 单位群的上同调计算
第2节 局部不变量与Brauer群的计算
第3节 公理化类域论
第4节 局部Artin互反律
第5节 局部存在定理
第6节 Hilbert符号
第五章 整体类域论 14.0学时 迟敬人
第1节 证明的大概框架
第2节 第一不等式
第3节 第二不等式
第4节 整体Artin互反律
第5节 整体存在性定理
第六章 伽罗瓦上同调的进一步结果 10.0学时 迟敬人
第1节 局部域的上同调维数
第2节 局部Tate对偶定理
第3节 局部欧拉-庞加莱示性数
第4节 整体上同调维数
第5节 Poitou--Tate对偶定理

略