随机分析
课程编码：180080071400M1006H
英文名称：Stochastic Analysis
课时：60
学分：3.00
课程属性：学科核心课
主讲教师：李向东
教学目的要求
随机分析是现代数学中最活跃、最富有成果的分支之一, 与数学的其他分支及量子力学、统计力学、生命科学、经济、金融等诸多领域有着广泛和深刻的联系。本课程为概率专业硕士、博士研究生的专业基础课程和相关学科研究生的选修课程。开设本课程的目的，是使学生能全面地掌握鞅论、随机积分、随机微分方程、Malliavin变分计算等随机分析理论的基础知识，并对随机分析在偏微分方程与金融数学中的部分应用有所了解，为从事随机分析、概率论及相关学科的研究做必要的准备。
预修课程
高等概率论、随机过程、泛函分析、偏微分方程
大纲内容
第一章 鞅论 9.0学时 李向东
第1节 概率论回顾
第2节 条件期望
第3节 随机过程的可测性
第4节 离散鞅论
第5节 连续时间鞅论
第二章 Brown运动 9.0学时 李向东
第1节 Brown运动的定义
第2节 Brown运动的分布性质及轨道性质
第3节 随机游动
第4节 Brown运动的Levy构造
第5节 Donsker不变性原理
第三章 随机积分与It公式 9.0学时 李向东
第1节 连续平方可积鞅
第2节 连续局部鞅以及连续半鞅的随机积分
第3节 平方变差过程
第4节 Wiener积分
第5节 It积分
第6节 It公式
第7节 BDG不等式
第8节 Brown运动的Levy刻画
第9节 指数鞅和Girsanov定理
第10节 连续鞅的随机积分表示
第四章 随机微分方程与扩散过程 9.0学时 李向东
第1节 随机微分方程解（强解、弱解）的定义
第2节 强解的存在唯一性
第3节 鞅问题
第4节 扩散过程与分布唯一性
第5节 局部时与Tanaka公式
第五章 偏微分方程的概率方法 8.0学时 李向东
第1节 热方程Cauchy问题
第2节 Laplace方程与Poisson方程的Dirichlet问题概率解
第3节 Feynman-Kac公式
第4节 二阶椭圆算子的热核与Green函数
第六章 Black-Schoes 理论初步 8.0学时 李向东
第1节 Black-Schoes 理论初步
第七章 Malliavin 变分计算初步 8.0学时 李向东
第1节 Malliavin 变分计算初步
参考书
1、
Probability with Martingales
D. Willams
1991
Cambridge
2、
Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed.
I.Karatzas and S.E.Shreve
1991
Springer-Verlag
3、
Continuous martingales and Brownian motion
D. Revuz and M. Yor
1999
Springer-Verlag
4、
Stochastic differential equations and diffusion processes, 2nd ed.
N．Ikeda and S. Watanabe
1989
North-Holland/Kodanska
5、
半鞅与随机分析
何声武、汪嘉冈、严加安
1995
科学出版社
6、
随机分析学基础，第二版
黄志远
2001
科学出版社
7、
随机过程导论
陈木法、毛永华
2007
高等教育出版社
课程教师信息
略