有限元方法的数学基础

课程编码：180080070102M2005H 英文名称：The Mathematics Foundations of Finite Element Methods 课时：60 学分：3.00 课程属性：专业核心课 主讲教师：毛士鹏

本课程对于有限元方法这一重要工具，提供比较完整的数学理论基础, 同时介绍一些有限元的前沿研究成果。本课程包含Sobolev空间理论及非线性泛函分析方面的相关内容，有些结论仅对较简单的特殊情形给出较为初等的证明，以加强学生的理解。本课程是计算数学研究生专业基础课程,要求学生能掌握有限元方法的基本思想和理论基础，为今后学习和科研工作打下坚实基础。

泛函分析、数值分析、微分方程数值解

第一章 有限元方法及其初探 2.0学时 毛士鹏
第1节 有限元介绍
第2节 一维有限元方法
第二章 变分原理和Sobolev空间 10.0学时 毛士鹏
第1节 二次凸泛函的极小化问题
第2节 Lax-Milgram定理
第3节 广义函数及常用不等式
第4节 广义导数及Sobolev空间
第5节 Sobolev空间嵌入定理
第6节 迹定理
第7节 Sobolev空间的Green公式
第8节 等价模定理
第9节 Bramble-Hilbert定理
第三章 椭圆型边值问题 4.0学时 毛士鹏
第1节 二阶椭圆型边值问题
第2节 线弹性边值问题
第3节 变分不等式问题
第4节 四阶椭圆型边值问题
第四章 有限元离散 9.0学时 毛士鹏
第1节 有限元离散基本特性
第2节 三角形面积坐标
第3节 三角形单元构造
第4节 受限制的三次Lagrange元
第5节 受限制的三次Hermite元
第6节 矩形单元
第7节 四阶问题的协调有限单元
第五章 协调有限元方法 8.0学时 毛士鹏
第1节 收敛性的一般方法
第2节 二阶问题的有限元误差分析
第3节 一般插值误差估计
第4节 L2误差估计
第5节 有限元空间中的反不等式
第6节 非光滑函数插值(Clement插值)
第六章 非协调有限元法 6.0学时 毛士鹏
第1节 抽象误差估计
第2节 二阶问题的非协调元
第3节 四阶问题的非协调元
第七章 混合有限元方法 7.0学时 毛士鹏
第1节 混合变分形式
第2节 混合变分理论(Babuska-Brezzi理论)
第3节 混合有限元框架
第4节 二阶椭圆问题混合有限元方法
第5节 Stokes问题的混合有限元方法
第八章 不连续Galerkin（DG）方法 4.0学时 毛士鹏
第1节 DG简介
第2节 内罚DG格式
第3节 内罚DG适定性分析
第4节 内罚DG误差估计
第九章 自适应有限元法 5.0学时 毛士鹏
第1节 自适应方法简介
第2节 二阶问题后验误差估计
第3节 估计子的上下界
第4节 L2后验误差估计
第十章 抛物方程有限元方法 5.0学时 毛士鹏
第1节 抛物方程简介
第2节 半离散有限元方法
第3节 全离散有限元方法
第4节 二阶C-N全离散格式

略