黎曼曲面

课程编码：180080070101M2006Y 英文名称：Riemannian Surface 课时：60 学分：3.00 课程属性：专业核心课 主讲教师：邓富声

通过该课程的学习，希望学生较好地掌握与理解黎曼曲面的思想、方法与内容，为进一步学习和研究现代数学的一些重要分支打下坚实基础。

微分流形，现代复分析，代数拓扑

第一章 黎曼曲面与复流形的基本概论 8.0学时 邓富声
第1节 多变量全纯函数简介
第2节 黎曼曲面与复流形的定义
第3节 复流形的构造：射影空间，Grassmann流形，代数曲线，商空间，曲面上度量的等温坐标
第4节 全纯函数与全纯映射，自同构群，解析子集与子流形，全纯嵌入，奇点
第5节 黎曼曲面上的亚纯函数，有理函数，椭圆函数
第6节 全纯分歧覆盖，分歧数与Riemann-Hurwitz公式
第7节 全纯向量场、全纯微分、亚纯微分
第8节 （1，0）型与（0，1）型微分，微分算子与Dolbeault上同调群，上同调群的函子性
第9节 黎曼曲面上的积分
第二章 黎曼曲面上的几何与拓扑 8.0学时 邓富声
第1节 曲线同伦、基本群、同调群简要回顾
第2节 闭形式积分的单值性定理
第3节 上同调环，分次性质，函子性
第4节 紧黎曼曲面的Poincare同构定理与de Rham同构定理
第5节 紧黎曼曲面上的相交理论与双线性关系
第三章 黎曼曲面上的调和分析 10.0学时 邓富声
第1节 Weyl引理
第2节 Hodge星算子与调和形式，调和形式的分解
第3节 黎曼曲面上的L^2理论与微分形式的Hodge分解定理，亏格与全纯微分的维数
第4节 -引理
第5节 同调群的Hodge分解定理与Dolbeault上同调群的对称性
第6节 Dolbeault上同调群与 方程的解，具有特殊奇点的亚纯函数和亚纯微分的存在性
第7节 单连通紧致黎曼曲面的刻画
第四章 层与层的上同调 8.0学时 邓富声
第1节 层的定义与例子
第2节 层的同态和正合序列， -Poincare引理
第3节 层的上同调，光滑微分层上同调群的消失性
第4节 层的短正合列与同调群的长正合列
第5节 de Rham-Weil同构和Dolbeault同构
第五章 紧黎曼曲面 14.0学时 邓富声
第1节 除子与Riemann-Roch定理
第2节 典范除子与Serre对偶定理
第3节 Poincare-Hopf指标定理，Riemann-Roch定理蕴含Gauss-Bonnet公式
第4节 消灭定理
第5节 亚纯函数的次数与超椭圆黎曼曲面
第6节 高次微分，点则环，间隙，Weierstrass点，超椭圆黎曼曲面的刻画
第7节 到射影空间的嵌入，典范映射，除子的线性系给出的映射
第8节 周期积分，Jacobi簇，Abel定理，Jacobi反演定理，Torelli定理
第六章 代数曲线初步 12.0学时 邓富声
第1节 黎曼曲面间的逆紧全纯映射与亚纯函数域的扩张
第2节 平面代数曲线的基本概念
第3节 奇点解消与正则化
第4节 相交数与Bezout定理
第5节 亏格公式

略