现代复分析

课程编码：180080070101M2007Y 英文名称：Advanced Complex Analysis 课时：60 学分：3.00 课程属性：专业核心课 主讲教师：邓富声

通过本课程的学习，希望学生能掌握现代复分析的基本概念和基本思想，对现代复分析的发展有所了解，为进一步学习现代数学和从事专业研究打下基础。

复变函数论，拓扑学

第一章 正规族与黎曼映照定理 8.0学时 邓富声
第1节 Montel定理，Hurwitz引理
第2节 黎曼映照定理的证明
第3节 素端与边界对应
第4节 多边形区域的黎曼映照，矩形的黎曼映照与椭圆积分
第5节 二连通区域的分类
第二章 映射的提升与解析函数的单值性定理 8.0学时 邓富声
第1节 同伦曲线与基本群简介
第2节 解析函数的单值性引理
第3节 同伦与同调形式的柯西定理
第4节 映射的提升，全纯覆盖映射，模函数，Picard小定理
第三章 广义Schwarz引理及其应用 8.0学时 邓富声
第1节 Schwarz引理的几何解释，Schwarz-Pick引理
第2节 一般区域上的Poincare度量
第3节 单位圆盘上Poincare度量的微分几何，非欧几何简介
第4节 广义Montel定理与Picard大定理
第5节 Ahlfors的Schwarz引理，复平面上负曲率度量的不存在性
第四章 调和函数 8.0学时 邓富声
第1节 调和函数的基本性质
第2节 Dirichelet问题与Perron方法
第3节 Green函数
第4节 多联通区域的典范表示
第五章 整函数 6.0学时 邓富声
第1节 Jensen公式
第2节 函数增长阶
第3节 无穷乘积
第4节 Weierstrass无穷乘积与Hadamard分解定理
第六章 Zeta函数与素数定理 8.0学时 邓富声
第1节 Gamma函数
第2节 Zeta函数
第3节 Zeta函数的零点
第4节 素数定理
第七章 椭圆函数 6.0学时 邓富声
第1节 椭圆函数
第2节 Eisenstein级数
第八章 Theta函数与整数的平方和 8.0学时 邓富声
第1节 Jacobi theta函数的乘积公式
第2节 生成函数
第3节 整数的平方和定理

略