数值逼近

课程编码：180080070102M2003H 英文名称：Advanced Numerical Approximation 课时：40 学分：2.00 课程属性：专业核心课 主讲教师：许志强

本课程为计算数学专业硕士研究生的专业核心课，同时也可作为信号处理、计算机图形学相关专业研究生的选修课。本课程主要介绍数值逼近的数学基础和计算方法以及当前的发展趋势。通过本课程的学习，希望学生掌握逼近中的基本思想与方法，并了解当前进展。

高等数学、线性代数

第一章 Weierstrass 逼近定理与卷积逼近 2.0学时 许志强
第1节 Weierstrass 逼近定理介绍及证明
第2节 好核
第3节 卷积逼近
第二章 卷积逼近的应用 2.0学时 许志强
第1节 卷积逼近方法证明Weierstrass 逼近定理
第2节 卷积逼近方法证明Fejer-Cesaro定理
第三章 多项式插值 2.0学时 许志强
第1节 Lagrange 插值公式
第2节 Newton 插值公式
第3节 多项式插值的误差
第四章 差商 3.0学时 许志强
第1节 差商的三种定义方式: 递归定义、多项式插值首项系数定义、显式表达公式定义
第2节 差商的性质
第3节 差商中的公开问题
第五章 多元多项式插值 2.0学时 许志强
第1节 Lebesgue常数
第2节 插值算子
第3节 Bezout定理与Haar 定理
第4节 二元多项式插值点构造
第5节 多元多项式插值中的公开问题
第六章 L_\infty 范数下的最佳逼近 2.0学时 许志强
第1节 Kolmogorov 最佳逼近定理
第2节 Chebyshev 定理
第3节 Chebyshev 多项式
第七章 L_2,L_1范数下的最佳逼近 2.0学时 许志强
第1节 直交多项式
第2节 广义Fourier级数与Bessel 不等式
第3节 L_1 范数下的最佳逼近与压缩感知
第八章 Pade 逼近 2.0学时 许志强
第1节 Pade逼近定义及基本理论
第2节 Frobenius-Pade 定理
第3节 加速收敛算法
第九章 样条函数 3.0学时 许志强
第1节 单变量样条函数定义
第2节 单变量样条函数空间及维数
第3节 自然样条函数及性质
第4节 B-样条函数：截断幂插商观点、卷积观点、Fourier变换观点
第十章 非均匀样条函数 2.0学时 许志强
第1节 非均匀B-样条函数递归公式
第2节 Schoenberg-Whitney定理
第十一章 多变量样条函数 2.0学时 许志强
第1节 B-样条函数多元推广
第2节 任意三角剖分上样条函数
第3节 多变量样条函数维数
第十二章 数值积分（I） 2.0学时 许志强
第1节 数值积分背景介绍
第2节 插值型求积公式及误差
第3节 Simpson求积公式
第4节 Romberg 方法
第十三章 数值积分 (II) 2.0学时 许志强
第1节 Gauss型求积公式
第2节 Gauss公式和Mehler公式
第3节 Euler-Maclaurin公式
第十四章 快速Fourier变换 2.0学时 许志强
第1节 多项式两种表示方式
第2节 多项式插值点的选择与快速计算
第3节 离散Fourier变换
第4节 快速Fourier 变换
第5节 快速Fourier变换复杂性
第十五章 采样定理 3.0学时 许志强
第1节 频率有限函数空间
第2节 Sinc 函数及性质
第3节 Shannon 采样定理
第4节 过采样与框架
第十六章 框架 (I) 2.0学时 许志强
第1节 框架的定义
第2节 伪逆
第3节 对偶框架
第十七章 框架 (II) 3.0学时 许志强
第1节 Riesz基
第2节 逆框架计算
第3节 框架投影与减噪
第4节 框架在量化中的应用
第5节 框架在相位恢复中的应用
第十八章 Gabor框架和小波框架 2.0学时 许志强
第1节 Gabor框架定义
第2节 Gabor框架的对偶框架
第3节 Gabor框架中的公开问题
第4节 小波框架定义
第5节 小波框架的对偶框架

略