高等泛函分析

课程编码：180080070101M2008Y 英文名称：Advanced Functional Analysis 课时：60 学分：3.00 课程属性：专业核心课 主讲教师：孙义静

本课程为数学学科各专业硕士研究生的专业核心课。希望通过本课程的学习，学生能够理解和掌握泛函分析中一些重要的概念和理论，了解泛函分析处理问题的方法和技巧，为从事纯粹数学和应用数学的研究作好泛函分析知识的准备。

实变函数和泛函分析基础

第一章 内积空间 8.0学时 孙义静
第1节 回顾：投影定理,Riesz表示定理,Lax-Milgram定理,Hilbert伴随算子
第2节 极大规范正交系,网,Bolzano-Weierstrass定理
第3节 投影定理的应用：如线性系统的最小二乘解
第4节 L_loc^1 (Ω) 中的弱偏导数,Sobolev空间
第5节 H_0^s (Ω)的P.Lax负范数
第6节 对称算子,自伴算子,酉算子,Cayley变换
第二章 赋范空间 8.0学时 孙义静
第1节 回顾：范数等价,有限维和无限维赋范空间的基本特征,商空间和超平面,Hahn-Banach定理、开映射定理,逆映射定理,闭图像定理,一致有界定理,自反空间
第2节 Banach空间的隐函数定理和连续性方法
第3节 凸集的Krein-Milman定理,凸函数
第4节 对偶算子,Banach闭值域定理
第5节 单位分解,L^p (Ω)的对偶空间、正则化和逼近
第三章 局部凸拓扑线性空间 13.0学时 孙义静
第1节 拓扑线性空间
第2节 拓扑线性空间上线性泛函的连续性
第3节 拓扑线性空间上线性算子有界性和连续性关系
第4节 线性空间中平衡集和吸收集
第5节 局部凸拓扑线性空间
第6节 半范数生成的线性空间的拓扑及其性质
第7节 吸收凸集的Minkowski泛函及其性质
第8节 半范数生成的拓扑和局部凸拓扑线性空间、Hausdorff局部凸拓扑线性空间、可度量化的局部凸拓扑线性空间的拓扑的关系
第四章 拓扑线性空间上的弱拓扑和弱*拓扑 13.0学时 孙义静
第1节 弱拓扑和弱*拓扑
第2节 集合上使一族映射连续的最弱拓扑的基本性质
第3节 凸集在范数拓扑和弱拓扑中的闭性,Mazur定理
第4节 乘积空间上的乘积拓扑,乘积拓扑和box拓扑关系
第5节 Tychonoff定理,Banach-Alaoglu-Bourbaki定理
第6节 Helly定理,Goldstine定理,Kakutani定理
第7节 弱收敛的常用性质
第8节 Sobolev空间的弱紧性
第五章 紧算子和紧算子的谱 9.0学时 孙义静
第1节 回顾：紧集,预紧集,完全有界集的关系,Ascoli-Arzela定理,Fredholm alternative定理,有限秩算子
第2节 紧算子的Schauder定理和Riesz-Schauder理论
第3节 紧算子和紧自伴算子的谱理论
第4节 二阶椭圆算子的特征值问题,积分方程的特征值问题
第5节 Sobolev空间的紧嵌入定理,迹
第6节 序Banach空间的 Krein-Rutman定理
第六章 无穷维赋范空间上算子的微分 9.0学时 孙义静
第1节 算子的导数,二次极小化问题,Lax-Milgram定理
第2节 变分学基本引理,分布论简介,变分方程
第3节 Banach空间中非线性常微分方程解的存在唯一性
第4节 局部流的存在唯一性定理,形变引理
第5节 Babuska-Brezzi上下确界定理
第6节 L^p函数空间上泛函的微分

略