现代实分析
课程编码：180080070100M1007Y
英文名称：Advanced Real Analysis
课时：60
学分：3.00
课程属性：学科核心课
主讲教师：郝成春
教学目的要求
本课程为数学学科各专业硕士研究生、博士研究生的专业核心课，同时也可作为理论物理专业研究生的选修课。本课程主要内容讨论抽象测度论，Hausdorff测度，面积和余面积公式，Sobolev函数，有界变差函数等。 通过本课程的学习，要求学生能够掌握现代实分析的基本概念、方法与技巧，为进一步学习现代数学和从事数学研究打下坚实的基础。
预修课程
数学分析、实变函数、泛函分析、点集拓扑
大纲内容
第一章 一般测度 12学时 郝成春
第1节 测度与可测函数
第2节 Lusin定理和Egoroff定理
第3节 积分与极限定理
第4节 乘积测度
第5节 覆盖定理
第6节 Radon测度的可微性
第7节 Lebesgue点
第8节 Riesz表示定理
第9节 Radon测度的弱收敛和紧性
第二章 Housdorff测度 8学时 郝成春
第1节 Housdorff维数的定义
第2节 等直径不等式
第3节 密度
第4节 Housdorff测度与函数的基本性质
第三章 面积和余面积公式 8学时 郝成春
第1节 Lipschitz函数
第2节 线性映射和Jacobian
第3节 面积公式
第4节 余面积公式
第四章 Sobolev函数 12学时 郝成春
第1节 定义和基本性质
第2节 逼近
第3节 迹
第4节 延拓
第5节 Sobolev不等式
第6节 紧性
第7节 Capacity
第五章 BV函数 20学时 郝成春
第1节 定义和结构性定理
第2节 逼近和紧性
第3节 迹和延拓
第4节 BV函数的余面积公式
第5节 等周不等式
第6节 边界的测度理论和Gauss-Green公式
第7节 BV函数的点态性质
第8节 直线上的全变差
第9节 有限周长的一个准则
教材信息
1、
Measure theory and fine properties of functions
Evans, Lawrence C. Gariepy, Ronald F.
1992年
CRC Press
参考书
1、
实分析
程民德，邓东皋，龙瑞麟
2008年
高等教育出版社
2、
实分析
陆善镇，王昆扬
2006年
北京师范大学出版社
3、
Geometric measure theory—an introduction
Lin, Fanghua; Yang, Xiaoping
2002年
Science Press Beijing，International Press
4、
Lectures on geometric measure theory
Simon, Leon
1983年
the Centre for Mathematical Analysis, Australian National University, 3
课程教师信息
略