课程大纲

课程大纲

遍历论

课程编码:070101D05017Z 英文名称:Ergodic Theory 课时:30 学分:1.50 课程属性:专业普及课 主讲教师:何伟鲲

教学目的要求
遍历论,作为一个数学分支,主旨是在统计意义下探讨一个系统在一个变化作用下长时间的渐近行为。它与其他数学分支之间有着惊人而深刻的联系。特别地,人们发现,遍历论的语言与工具用来解决组合数论、丢番图逼近、分形几何中的问题时有着强大的力量。例如,Szemerédi的一个著名定理称,正整数集的正密度子集一定包含任意长度的等差数列。Furstenberg用遍历论的多重回复性给出了这个定理的新的证明与推广。本课程分为两部分。第一部分为遍历论的基本概念与基本定理,让学生掌握遍历论的概念与工具,熟悉遍历论的思想。为将来动力系统的学习提供相应的基础,以及在其他数学学科的学习中提供不一样的视角。第二部分是更深的主题选讲,包括遍历论在其他数学分支中的应用,以启发学生在这方面继续探索。这学期,第二部分的内容包括上述Szemerédi定理的遍历证明以及齐性空间中的几类系统的遍历性。

预修课程

大纲内容
第一章 回复性、遍历性 6学时
第1节 保测变化
第2节 回复性、庞加莱回复定理
第3节 遍历性、遍历分解
第4节 遍历定理
第5节 唯一遍历性,Weyl等分布定理
第二章 混合性 3学时
第1节 强混合、弱混合
第2节 酉表示
第三章 熵 6学时
第1节 测度熵
第2节 拓扑熵
第3节 变分原理
第四章 Factor和Joining 4学时
第1节 Factor和Joining
第2节 Kronecker系统
第3节 互斥性
第五章 Szemerédi定理的遍历证明 6学时
第1节 多重回复性
第2节 紧致扩张
第3节 相对弱混合扩张
第六章 齐性空间中的遍历性 5学时
第1节 Howe-Moore定理
第2节 测地流的遍历性

参考书

课程教师信息
何伟鲲,中科院数学与系统科学研究院副研究员,研究方向为遍历论与加性组合。在巴黎第十一大学取得博士学位,分别在耶路撒冷希伯来大学与韩国高等研究院任博士后。