课程大纲

课程大纲

偏微分方程Ⅰ、Ⅱ

课程编码:070101D05005Z 英文名称:Partial Differential Equations 课时:80 学分:4.00 课程属性:专业普及课 主讲教师:诸葛金平

教学目的要求
通过该课程的学习,让学生掌握偏微分方程中双曲、椭圆和抛物方程的基本内容,包括特征方法与奇异解、极大值原理与先验估计,弱解与正则性等,以为研究生阶段其它学科的学习打好基础。课程的最后综合双曲、椭圆和抛物方程的基本知识,引入流体力学基本方程组的理论。

预修课程
偏微分方程基本理论

大纲内容
第一章 Harmonic functions, Laplace equations 5学时 诸葛金平
第1节 Mean value property, maximum principle, Harnack
第2节 Smoothness and analyticity
第3节 Fundamental solutions, Green functions
第4节 Perron's method for Dirichlet problem
第5节 MP for elliptic equations of nondivergence form
第二章 Nonlinear first-order equations 10学时 诸葛金平
第1节 Complete integrals, envelopes
第2节 Characteristics
第3节 Introduction to Hamilton-Jacobi equations
第4节 Introduction to conservation laws
第三章 Sobolev spaces 15学时 诸葛金平
第1节 Weak derivatives, Sobolev spaces, Holder spaces
第2节 Approximation
第3节 Extension
第5节 Sobolev inequalities
第6节 Poincare inequalities
第7节 Compactness
第8节 Fourier transform, fractional Sobolev spaces, trace
第9节 Difference quotient
第10节 Interpolation or other related toptics
第四章 Elliptic equations, part 1 (variational solutions) 7学时 诸葛金平
第1节 Weak solutions, Lax-Milgram theorem
第2节 Neumann problem
第3节 L^2 regularity theory (interior and boundary)
第4节 Eigenvalues and eigenfunctions
第五章 Elliptic equations, part 2 (regularity) 13学时 诸葛金平
第1节 Weak MP
第2节 Local boundedness
第3节 Strong MP, Harnack
第4节 De Giorgi-Nash estimate
第5节 Schauder estimates
第6节 CZ inequality or real variable method
第7节 L^p regularity theory
第六章 Elliptic equations, part 3 (nondivergence form) 10学时 诸葛金平
第1节 MP, Krylov-Safonov estimate
第2节 L^p theory
第3节 Solvability of Dirichlet problem
第4节 Local MP
第5节 Harnack and Holder inequalities
第6节 Schauder estimates (optional)
第七章 Linear evolution equations 6学时 诸葛金平
第1节 Linear parabolic equation
第2节 Linear hypobolic equation
第3节 Semigroup theory
第八章 Nonlinear wave equations 12学时 诸葛金平
第1节 Introduction
第2节 Short time existence
第3节 Semilinear wave equations, subcritical nonlinearity
第4节 Critical power nonlinearity
第5节 Finite time blow up

教材信息
1、 Elliptic Partial Differential Equations Qing HAN、Fanghua LIN 2011 American Mathematical Society

参考书
1、 二阶椭圆偏微分方程 David Gilbarg、Neil S.Trudinger 2016 高等教育出版社

课程教师信息