课程大纲

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黎曼曲面

课程编码:070100M01008Y 英文名称:Riemann Surfaces 课时:60 学分:3.00 课程属性:一级学科核心课 主讲教师:邓富声

教学目的要求
本课程为数学学科相关专业博士、硕士研究生的专业基础课。黎曼曲面是分析、几何与代数的交汇点,是现代数学诸多重要领域如代数几何、多复变、自守函数论、微分几何、几何分析、李群、代数数论、调和分析、偏微分方程和拓扑学等的出发点或基础。该课程主要介绍黎曼曲面论中一些重要的思想、方法和定理,主要包括全纯、亚纯映射,分歧覆盖,解析层上同调,Riemann-Roch定理及其应用,Serre对偶定理,Hodge定理,Abel定理、Jacobi反演定理,消没定理,嵌入定理,单值化定理,Mittag-Leffler定理和Weierstrass定理等。通过该课程的学习,希望学生较好地掌握与理解黎曼曲面的思想、方法与内容,为进一步学习和研究现代数学的一些重要分支打下坚实基础。

预修课程
微分流形,复分析,代数拓扑

大纲内容
第一章 黎曼曲面与代数拓扑基础 15学时
第1节 黎曼曲面的定义以及典型例子,全纯映照的基本性质,亚纯函数的定义
第2节 曲线的同伦,基本群
第3节 分歧和非分歧覆盖映射
第4节 万有覆盖和覆盖变换
第5节 全纯,亚纯微分形式的定义
第6节 留数和留数定理
第7节 预层,层,芽,茎的定义,上同调群,Leray定理,简单同调群的计算
第8节 层的正合序列,连接同态
第二章 解析延拓与黎曼曲面 10学时
第1节 历史、概念与例子
第2节 复结构
第3节 代数函数的(具体)黎曼面与(抽象)黎曼面,Monodromy定理,全纯域,全纯函数芽层
第4节 K?hler度量及曲率
第5节 单连通黎曼面上的常曲率度量、群作用、自同构群,对称空间
第三章 紧Riemann面 25学时
第1节 Riemann-Roch定理应用,Serre对偶定理, Riemann-Hurwitz公式,紧Riemann面上的全纯微分式
第2节 除子与线丛,切丛与典则丛
第3节 除子类群与Picard群
第4节 全纯线丛的度量、联络、曲率、陈类与度数,Gauss-Bonnet定理,正定线丛
第5节 次调和函数,流动形(current),线丛的奇异度量与曲率*
第6节 Mittag-Leffler问题
第7节 Dolbeault定理
第8节 调和微分形式, Hodge定理
第9节 Abel定理,相交数
第10节 周期矩阵,Picard簇与Jacobi簇,Jacobi反演定理
第11节 Weierstrass点与全纯自同构群,Hurwicz定理
第12节 有限性定理
第13节 Serre对偶定理
第14节 正线丛与消没定理,射影嵌入定理
第15节 光滑代数曲线,Riemann-Hurwicz公式,亏格公式,Weierstrass空隙定理
第16节 奇异代数曲线
第17节 椭圆函数,椭圆曲线,模形式
第18节 theta函数,L-函数,自守函数
第19节 Teichmüller空间及模空间,黎曼球面上复结构的唯一性,复环面上复结构与j-不变量
第四章 非紧Riemann面 10学时
第1节 Riemann面上的调和函数与Dirichlet边值问题
第2节 解Dirichlet边值问题的Perron方法,变分法与Brown运动法*
第3节 带边紧黎曼面,格林函数;单值化定理
第4节 Riemann面的可数拓扑基问题,Rado定理
第5节 Weyl引理;Mittag-Leffler定理和Weierstrass定理
第6节 Behnke-Stein定理,Runge定理
第7节 Klein群和Fuchs群
第8节 全纯线丛和向量丛的平凡性

参考书
1、 Lectures on Riemann Surfaces Otto Forster 1981年 Springer-Verlag

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