有限元方法的数学基础

课程编码：070102M04002H 英文名称：The Mathematical Bases of Finite Element Methods 课时：40 学分：2.00 课程属性：专业核心课 主讲教师：毛士鹏

本课程是计算数学和应用数学硕士专业基础课。对于有限元方法这一重要工具，提供比较完整的数学基础, 同时稍微介绍一些有限元的前沿研究成果。本课程中凡是超出大学课程的数学内容，将给出较为详细的论述。如关于Sobolev空间理论及非线性泛函分析方面的内 容，将给出详细的结论，但一般不给出全面的证明，只是对较简单的特殊情形，给出较为初等的证明，以加强学生的理解。
本课程授课对象主要面向数学专业研究生,要求学生能掌握有限元方法的基本思想和理论基础，为今后学习和科研工作打下坚实基础。

偏微分方程基础、微分方程的计算方法、数值代数（或矩阵论）、泛函分析

第一章 有限元方法及其初探 2学时
第1节 有限元介绍
第2节 一维有限元方法
第二章 变分原理和Sobolev空间 10学时
第1节 二次泛函极小化问题
第2节 Lax-Milgram 定理
第3节 广义函数及常用不等式
第4节 广义导数及Sobolev空间
第5节 Sobolev空间嵌入定理
第6节 迹定理
第7节 Sobolev空间的Green公式
第8节 等价模定理
第9节 Bramble-Hilbert定理
第三章 椭圆型边值问题 4学时
第1节 二阶椭圆型边值问题
第2节 线弹性边值问题
第3节 变分不等式问题
第4节 四阶椭圆型边值问题
第四章 有限元离散 9学时
第1节 有限元离散基本特性
第2节 三角形面积坐标
第3节 三角形单元构造
第4节 受限制的三次Lagrange元
第5节 受限制的三次Hermite元
第6节 矩形单元
第7节 四阶问题的协调有限单元
第五章 协调有限元方法 8学时
第1节 收敛性的一般方法
第2节 二阶问题的有限元误差分析
第3节 一般插值误差估计
第4节 L2误差估计
第5节 有限元空间中的逆不等式
第六章 非协调有限元方法 6学时
第1节 抽象误差估计
第2节 二阶问题的非协调元
第3节 四阶问题的非协调元
第七章 有限元其他研究方向简介 1学时
第1节 有限元其他研究方向简介

略