随机分析

课程编码：071100M01001H 英文名称：Stochastic Analysis 课时：60 学分：3.00 课程属性：一级学科核心课 主讲教师：李向东

随机分析是现代数学中最活跃、最富有成果的分支之一, 与数学的其他分支及量子力学、统计力学、生命科学、经济、金融等诸多领域有着广泛和深刻的联系。本课程为概率专业硕士、博士研究生的专业基础课程和相关学科研究生的选修课程。开设本课程的目的，是使学生能全面地掌握鞅论、随机积分、It?公式、随机微分方程、Malliavin变分计算等随机分析理论的基础知识，并对随机分析在偏微分方程与金融数学中的部分应用有所了解，为从事随机分析、概率论及相关学科的研究做必要的准备。

高等概率论、随机过程、泛函分析、偏微分方程

第一章 鞅论 10学时
第1节 概率论回顾、条件期望、随机过程的可测性
第2节 离散鞅论
第3节 连续时间鞅论
第二章 Brown运动 10学时
第1节 Brown运动的定义，Brown运动的分布性质及轨道性质
第2节 随机游动、Brown运动的Levy构造、Donsker不变性原理
第三章 随机积分与Ito公式 10学时
第1节 连续平方可积鞅、连续局部鞅以及连续半鞅的随机积分，平方变差过程
第2节 Wiener积分、Ito积分，Ito公式，BDG不等式，Brown运动的Levy刻画、指数鞅和Girsanov定理，连续鞅的随机积分表示
第四章 随机微分方程与扩散过程 10学时
第1节 随机微分方程解（强解、弱解）的定义、强解的存在唯一性
第2节 鞅问题，扩散过程与分布唯一性、局部时与Tanaka公式
第五章 偏微分方程的概率方法 8学时
第1节 热方程Cauchy问题、Laplace方程与Poisson方程的Dirichlet问题概率解
第2节 Feynman-Kac公式、二阶椭圆算子的热核与Green函数 
第六章 Black-Schoes 理论初步  3学时
第1节 Black-Schoes 理论初步 
第七章 Malliavin 变分计算初步  9学时
第1节 Malliavin 变分计算初步 

略