辛几何前沿课题选讲
课程编码：070101D05015Z
英文名称：Topics in Symplectic Geometry
课时：32
学分：1.50
课程属性：专业普及课
主讲教师：周正一
教学目的要求
本课程的目标是较为完整，系统地介绍拟全纯曲线理论的分析基础。继而介绍拟全纯曲线的几何应用，包括著名的Gromov non-squeezing定理，Floer同调，Weinstein猜想上的应用，以及在辛拓扑和切触拓扑上的应用。希望和要求学生通过本课程的学习，系统地掌握其基本原理和方法，从而具备理解辛几何前沿发展文献的能力。
预修课程
微分拓扑，泛函分析
大纲内容
第一章 辛几何初步 2学时
第1节 辛流形的基本性质和例子
第2节 近复结构
第3节 Gromov non-squeezing定理证明梗概
第二章 拟全纯曲线的几何性质 4学时
第1节 拟全纯曲线的能量和极小曲面性质
第2节 Carleman相似性原理
第3节 唯一延拓性
第4节 临界点，分歧覆盖，和某处单射曲线
第三章 拟全纯曲线模空间的光滑性 8学时
第1节 分布，Sobolev空间，线性椭圆方程理论回顾
第2节 拟全纯曲线的椭圆正则性
第3节 拟全纯曲线的模空间描述
第4节 Banach流形，隐函数定理，Fredholm截面，横截性和Sard-Smale定理
第5节 曲线空间的流形结构，非线性CR算子的Fredholm性质，线性化，指标和Riemann-Roch定理
第6节 单拟全纯曲线的模空间的光滑性
第四章 拟全纯曲线模空间的紧化 8学时
第1节 非线性CR算子的bootstrapping
第2节 紧致性在L2上界情况下的失效，bubble现象
第3节 非线性均值不等式
第4节 等周不等式
第5节 可去奇点定理
第6节 Gromov non-squeezing定理证明中的模空间紧性
第7节 Gromov紧化简介
第五章 Gromov non-squeezing定理和相关问题 4学时
第1节 Gromov non-squeezing定理证明
第2节 Gromov non-squeezing定理的应用
第3节 辛容量，辛嵌入问题的进展
第六章 Floer理论简介和应用 4学时
第1节 Morse理论
第2节 Floer理论简介
第3节 Arnold猜想
第七章 辛场论简介和应用 2学时
第1节 辛场论简介
第2节 辛场论模空间的紧性，neck-stretching和在Weinstein猜想上的应用
参考书
1、
Morse theory and Floer homology
Audin Michele and Damian Mihai
2014
Springe
课程教师信息
中科院副研究员，主要从事辛拓扑和切触拓扑研究