有限元方法与计算地球动力学

课程编码：0708Z1M04004H 英文名称：Finite Element Method and Computational Geodynamics 课时：60 学分：4.00 课程属性：专业核心课 主讲教师：张怀

《有限元方法与计算地球动力学》是一门针对“地球科学学院”地球动力学领域研究生开设的核心课程，也可以作为其他专业方向的专业基础。通过本课程的学习，掌握差分法、有限元方法等数值计算的基本概念、方法及原理，初步具有应用计算机从事地球动力学前沿科学问题研究的能力。课程将重点讲述数值计算方法基础、差分法、有限元方法（含谱元法和非连续加列金算法Discontinuous Galerkin）、地球动力学基本物理模型及其数值解法、国际最新的关于超大规模并行数值模拟前沿发展的一些基本问题，例如区域分解算法、MIC和GPU计算等前沿研究方向和在计算地球动力学的应用问题。
其中有限元方法是现代计算科学中最重要，使用最广泛的数值计算方法之一。在地球科学问题的研究中，有限元方法也是使用最多的数值计算方法。理解和掌握有限元方法对将来从事地球科学研究的同学至关重要。另外，以往的对地球科学诸学科的学生的有限元方法的培养，过多重视应用，忽略了理论基础的培养。极大地影响到了同学进行长期科研活动的创造能力。因此本课程的主要目的就是从有限元的数学基础理论入手，从理论基础和实际模型设计方面，综合培养扎实的有限元理论基础和实际应用基础。
课程同时安排大量的作业，用来加深对同学课堂理论掌握的同时，要从实践上，培养学生对知识的理解力和科研创造能力以及独立思维的能力。

其中有限元方法是现代计算科学中最重要，使用最广泛的数值计算方法之一。在地球科学问题的研究中，有限元方法也是使用最多的数值计算方法。理解和掌握有限元方法对将来从事地球科学研究的同学至关重要。另外，以往的对地球科学诸学科的学生的有限元方法的培养，过多重视应用，忽略了理论基础的培养。极大地影响到了同学进行长期科研活动的创造能力。因此本课程的主要目的就是从有限元的数学基础理论入手，从理论基础和实际模型设计方面，综合培养扎实的有限元理论基础和实际应用基础。
课程同时安排大量的作业，安排部分并行计算机和并行计算环境上机实习，初步体验并行有限元方法软件的设计和使用。用来加深对同学课堂理论掌握的同时，要从实践上，培养学生对知识的理解力和科研创造能力以及独立思维的能力。

1. 数值分析或数值计算方法；
2. 弹性力学或连续介质力学；

第一章 计算地球动力学基本介绍 3学时 张怀
第1节 讲解当代计算地球动力学的最新发展及学好这门课程需要掌握的基础知识以及后续将要讲述的大致内容
第二章 误差与有效数字基础 3学时 张怀
第1节 有效数字
第2节 绝对误差与相对误差
第3节 数值计算中需要注意的问题
第三章 插值方法 3学时 张怀
第1节 Lagrange 插值公式的计算与插值余项
第2节 Newton 插值与均差（差商）
第3节 差分法
第4节 高次插值多项式的问题：Runge现象
第5节 分段插值多项式
第四章 解非线性方程的迭代数值方法 3学时 张怀
第1节 定点迭代法的基本思想
第2节 收敛定理与误差估计
第3节 Newton迭代算法及其几何意义
第4节 Newton法的收敛速率
第五章 线性方程组的数值解法 3学时 张怀
第1节 顺序Gauss消去法,列主元Gauss消去法
第2节 LU分解,三对角方程组的追赶法，对称矩阵的Cholesky分解，正定矩阵的平方根法
第3节 向量与矩阵的范数
第4节 矩阵的条件数
第六章 解线性方程组的迭代法 3学时 张怀
第1节 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法
第2节 超松驰(SOR)迭代法
第3节 迭代法的收敛性定理
第4节 迭代收敛速度
第七章 数值积分与数值微分 3学时 张怀
第1节 Newton-Cotes求积公式与代数求积精度
第2节 复合求积公式，Simpson求积公式
第3节 Gauss求积公式
第4节 Romberg求积公式与Richardson外推法
第八章 常微分方程的数值解 3学时 张怀
第1节 Euler方法,梯形公式和改进Euler方法
第2节 二阶、四阶Runge--Kutta法
第3节 单步法与线性多步法的收敛性与稳定性
第4节 Adams方法 、Adams外推公式与预报-校正公式
第5节 常微分方程组和高阶微分方程的数值方法
第6节 方程组的刚性
第九章 有限元方法基础：一个简单的例子 3学时 张怀
第1节 一维弹性杆的重力拉伸问题
第2节 一个简单的有限元例子：偏微分方程和有限元解题步骤
第3节 刚度矩阵与边界条件处理
第4节 有关非奇异性和正定性的讨论
第5节 有关边界条件的讨论
第十章 一般二阶常微分方程边值问题的有限元方法 3学时 张怀
第1节 有限元方法解题步骤
第2节 Gauss公式与Green第一公式
第3节 刚度矩阵与边界条件处理
第4节 有关非奇异性和正定性的讨论
第5节 有关第一、二、三类边界条件与讨论
第6节 间断系数问题的一般性
第十一章 线弹性问题的有限元方法 3学时 张怀
第1节 基本物理问题
第2节 基本方程：本构方程、几何方程和平衡方程
第3节 平面应力和平面应变
第4节 各向同性和各向异性问题
第5节 边界条件类型和处理：正交子空间构造与Gram-Schmidt orthogonalization 过程
第十二章 单元理论基础 3学时 张怀
第1节 常用最基本的单元类型和表示方法
第2节 单元插值基函数的构造技巧
第3节 三角形单元的形函数构造
第4节 Lagrange和Hermite型单元
第十三章 等参(数)元与单元计算 3学时 张怀
第1节 等参数元的基本定义
第2节 单元Jacobi矩阵
第3节 单元数值微分
第4节 单元数值积分
第十四章 Litz法与Galerkin法理论基础（变分法初步） 3学时 张怀
第1节 最简泛函的定义
第2节 最简泛函的变分、极值必要条件
第3节 欧拉方程
第4节 Litz法与Galerkin法比较
第十五章 非线性有限元基本理论基础 3学时 张怀
第1节 方程的非线性
第2节 定点迭代法在非线性有限元方法中的应用
第3节 Newton迭代算法在非线性有限元方法中的应用
第4节 方程分析技巧
第5节 初边值与收敛性
第十六章 发展方程的有限元方法1 3学时 张怀
第1节 发展方程的定义与特征
第2节 时间一阶格式的发展方程算法
第3节 Euler向前、Euler向后和Crank-Nicolson算法
第十七章 发展方程的有限元方法2 3学时 张怀
第1节 时间二阶格式的有限元算法
第2节 Newmark算法及其特性
第3节 初边值条件、稳定性的讨论
第十八章 耦合方程的有限元方法1 3学时 张怀
第1节 耦合方程的定义
第2节 一个简单的耦合算例（热弹性问题有限元方法）
第3节 （非）线性耦合系数的求解域传递
第十九章 耦合方程的有限元方法2 3学时 张怀
第1节 耦合方程的收敛性问题
第2节 耦合方程的稳定性问题
第二十章 期终闭卷考试 3学时 张怀
第1节 期终闭卷考试

张怀：教育背景
1997-09--2000-07 中国科学院数学研究所 理学博士
1995-09--1997-07 哈尔滨工业大学材料科学学院 硕士
1991-09--1995-07 哈尔滨工业大学材料科学学院 学士 工作经历
2009,6-，中国科学院研究生院地球科学学院、计算地球动力学重点实验室，教授；
2003,7-2009,5，中国科学院研究生院地球科学学院、计算地球动力学重点实验室，副教授；
2002,9-2003,3，中国科学院研究生院数学与系统科学学院，高级访问学者；