微分方程数值解Ⅰ

课程编码：070102M04001H 英文名称：Numerical Solutions of Differential Equations Ⅰ 课时：40 学分：2.00 课程属性：专业核心课 主讲教师：张文生

“微分方程数值解I”主要面向数学等各专业的理工课研究生的专业基础课，内容包括常微分方程初值与边值问题的数值解法, 抛物型、双曲型及椭圆型偏微分方程的有限差分数值解法的基本理论、重要格式与稳定性分析，以及边界元和有限元数值求解的重要方法。要求学生通过本课程的学习，掌握数值求解微分方程的重要理论和方法，为今后在各自的专业中应用这些方法解决具体问题进行深入研究奠定坚实的基础。

数学分析，线性代数, 计算方法，数学物理方程

第一章 常微分方程初、边值问题数值解法 14学时 张文生
第1节 最简单的单步法－Euler方法及其误差估计
第2节 改进的Euler方法-梯形公式及其误差估计
第3节 高阶单步方法－Runge－Kutta方法
第4节 一般单步法的误差估计及收敛性分析
第5节 线性多步法
第6节 线性多步法的稳定性、收敛性和误差估计
第7节 线性多步法的绝对稳定性分析
第8节 预估校正方法
第9节 刚性方程组的数值方法
第10节 常微分方程两点边值问题的数值方法
第11节 Hamilton系统的辛几何算法
第二章 有限差分近似基础 4学时 张文生
第1节 导数的空间近似
第2节 导数的算子表示
第3节 任何阶精度差分算子的建立
第4节 非均匀网格上的差分格式
第三章 椭圆型方程的差分方法 5学时 张文生
第1节 两点边值问题的差分格式
第2节 一维有限体积法（积分插值法）
第3节 Laplace方程的差分格式
第4节 二维有限体积法及边界条件处理
第5节 Poisson方程5点差分格式的收敛性分析
第四章 有限差分格式的相容性、稳定性和收敛性 7学时 张文生
第1节 初边值问题的相容性、稳定性和收敛性的定义与例题
第2节 Lax定理
第3节 Fourier级数法稳定性分析
第4节 矩阵法稳定性分析
第五章 抛物型方程的差分法法 6学时 张文生
第1节 一维常系数扩散方程的两层、三层差分格式
第2节 二维热传导方程的交替方向差分格式
第3节 二维热传导方程的不对称格式
第4节 局部一维（LOD)格式
第六章 双曲型方程的差分方法 6学时 张文生
第1节 线性对流方程的差分格式
第2节 特征线与差分格式
第3节 二阶波动方程的差分方法
第4节 一阶双曲型方程组的差分格式
第5节 双曲型守恒律方程及守恒型差分格式
第七章 拟线性双曲方程的特征线差分方法 6学时 张文生
第1节 双曲型方程的标准形式
第2节 一阶拟线性双曲型方程的特征线方法
第3节 一阶拟线性双曲型方程组的特征线方法
第4节 二阶拟线性双曲型方程的特征性方法
第八章 离散方程的求解 6学时 张文生
第1节 残量校正格式
第2节 基本迭代方法
第3节 预条件迭代方法
第4节 Krylov子空间迭代方法

略