实分析
课程编码：070100M01011Y
英文名称：Real Analysis
课时：50
学分：2.50
课程属性：一级学科核心课
主讲教师：燕敦验
教学目的要求
本课程为数学学科各专业硕士研究生、博士研究生的专业核心课，同时也可作为理论物理专业研究生的选修课。本课程主要内容讨论抽象测度空间上的勒贝格积分理论，空间理论，测度、微分、乘积空间的积分以及分析领域中的几个重要变换理论等。 通过本课程的学习，要求学生能够掌握近代实分析的基本概念、方法与技巧，为进一步学习近代数学和从事数学研究打下坚实的基础。
预修课程
数学分析、实变函数、泛函分析、点集拓扑
大纲内容
第一章 抽象积分理论 8.0学时 燕敦验
第1节 可测函数
第2节 简单函数及可积函数的基本概念
第3节 积分的基本性质
第4节 可积函数列及收敛性
第5节 几乎处处收敛
第6节 Fatou引理
第7节 控制收敛定理
第二章 正Borel测度 8.0学时 燕敦验
第1节 Riesz表示定理
第2节 Borel测度的正则性
第3节 Lebesgue测度
第4节 可测函数的连续性
第5节 Lusin 定理
第三章 Lp空间 4.0学时 燕敦验
第1节 凸函数
第2节 Jensen不等式
第3节 Holder不等式
第4节 Minkowski不等式
第5节 函数列依测度收敛
第6节 依范数收敛
第7节 连续函数与逼近
第四章 复测度 6.0学时 燕敦验
第1节 全变差
第2节 绝对连续性
第3节 Radon-Nikodym定理极其推论
第五章 微分 8.0学时 燕敦验
第1节 测度的导数
第2节 Hardy-Littlewood极大函数
第3节 微积分基本定理
第4节 可微变换
第六章 乘积空间的积分 8.0学时 燕敦验
第1节 乘积空间的测度
第2节 Fubini定理
第3节 乘积测度的完备化
第4节 卷积
第5节 分布函数
第七章 Fourier变换 8.0学时 燕敦验
第1节 一维欧氏空间上的Fourier变换的基本性质
第2节 Fourier变换的反演定理
第3节 Plancherel 定理
参考书
1、
无
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无
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课程教师信息
略