单复变函数选讲

课程编码：070101D05012Z 英文名称：Complex analysis of one variable 课时：40 学分：2.00 课程属性：专业普及课 主讲教师：张翼

本课程为本科基础课程，复变函数，的进阶课程。主要讲授共形映射及其的推广，拟共形映射，的几何性质以及它们在泛函分析，调和分析，椭圆偏微分方程等方向的应用。
拟共形映射，又称拟保角映射，原本是复分析中的一套技术手段，现已发展为一套独立学科。最早提出这类新映射的是H.格勒奇，他为了叙述与证明皮卡定理的一个推广而引进这类新映射。他同时给出了伸缩商概念，用来度量这类新映射与共形映射的偏差程度。M. A. 拉夫连季耶夫与L. V. 阿尔福斯等人其后又分别从偏微分方程与函数论的角度研究了这类新映射。在20世纪后半叶，拟共形映射及其相关领域蓬勃发展，并且逐渐应用在椭圆型偏微分方程等领域中。与此同时，近些年来，人们发现这一理论在研究泰希米勒空间、克莱因群、有理函数的迭代、调和分析和弹性等方面已经成为一个有价值的工具。
本课程将从共形映射的几何性质出发，系统地介绍拟共形映射的定义，几何性质，分析性质以及它在其它数学分支上的应用。希望和要求学生们通过本课程的学习，系统地掌握其基本原理和方法，能够在今后工作中利用它解决部分数学中的实际问题。

复变函数，调和分析

第一章 复变函数与共性映射 2学时 张翼
第1节 复解析函数回顾
第2节 黎曼映照定理
第二章 曲线与模 4学时 张翼
第1节 曲线与可求长曲线
第2节 曲线族的模
第3节 模在共形映射中的应用
第三章 Sobolev空间与调和函数 6学时 张翼
第1节 Sobolev空间
第2节 容量，模与调和函数
第3节 平面上模的对偶性与黎曼映照定理
第四章 共形映射的几何性质 4学时 张翼
第1节 Koebe拉伸定理及其应用
第2节 双曲度量与Gehring-Hayman定理
第五章 拟共形映射及其几何性质 10学时 张翼
第1节 拟共形映射的度量定义
第2节 拟对称映射的定义及其和拟共形映射的关系
第3节 拟共形映射的分析定义
第4节 拟共形映射的几何定义
第六章 平面拟共形映射与Beltrami方程 10学时 张翼
第1节 复位势
第2节 Betrami变换
第3节 可测黎曼映照定理
第七章 拟共形映射的应用 4学时 张翼
第1节 拟共形映射与偏微分方程
第2节 拟共形映射与调和分析

略