工程科学中的应用数学方法导论

课程编码：B1111005Y 英文名称：Introduction to Applied Mathematics in Engineering Science 课时：60 学分：3.00 课程属性：专业必修课 主讲教师：王展

本课程是本科生的基础课，旨在培养未来工程科学家和工程技术领军人才。课程基于人文与科技结合、工学与美学结合的主旨，主要讲述设计与制造的基本方法与工程应用。通过本课程的学习，使学生掌握设计与制造的基本知识，包括造型设计、功能设计、工程设计等不同的设计方法和表达；以及从传统制造、先进制造到智能制造等不同的制造技术和模式。同时，提高学生对工程设计到产品制造全过程的审美认知能力、创新设计能力以及动手实践能力。

高等数学、理论力学、大学物理

第一章 简介（2学时）

1.应用数学研究的科学前沿

2.应用数学的科学应用范例

3.应用数学的工程应用范例

第二章 迭加原理（15学时）

1.微分方程基本理论

2.d’Alembert公式与Duhamel原理（波动方程）

2.1 d’Alembert公式、特征线、因果律、能量

2.2 高维波动方程：球面平均法、降维法

3.积分变换法与分离变量法（热传导方程）

3.1 Fourier变换：热传导方程、薛定谔方程

3.2 Laplace变换：梁的振动   

3.3 法拉第振荡与亚临界不稳定性

4.Delta函数与格林函数法（位势方程）

4.1 Delta函数：heat kernel、Poisson kernel

4.2 格林函数法：边界积分法

4.3 位势方程的基本理论

第三章 非线性微分方程（12课时）

1.不可压缩Navier-Stokes方程  

1.1 Kadar-Parisi-Zhang模型：Hopf-Cole变换

1.2 Burgers方程与湍流：一个失败的模型

1.3 三维Navier-Stokes方程的困境

1.4 湍流的另一个简化模型：Constantin-Lax-Madja模型

2.空气动力学与拟线性双曲方程

2.1 无粘的Burgers方程：激波与中心疏散波

2.2 熵条件与唯一性：粘性消失极限、Lax熵条件、Oleinik熵条件

2.3 一维等熵流：Riemann不变量与活塞问题

3.自由水面波与非线性色散方程

3.1 Korteweg-de Vries方程的历史沿革

3.2 Korteweg-de Vries方程的导出与孤立波

3.3 反演散射法简介

第四章 变分法（3课时）

1.变分原理：欧氏空间中的测地线、Fermat原理

2.Euler-Lagrange方程：极小曲面、曲面上的测地线

3.变分法在分析力学中的应用

3.1 Hamilton原理

3.2 对称性：群论与Noether定理

3.3 自由边界问题的变分法 

第五章 渐近方法（20课时）

1.正则摄动理论

1.1 什么是摄动：渐近展开与泰勒展开

1.2 应用于单摆问题的级数方法

1.3 用摄动理论求解抛射问题

1.4 庞加莱的摄动理论

2.奇异摄动理论及其应用

2.1 最简单的例子：高次方程的根

2.2 进一步的例子：常微分方程边值问题

2.3 WKB与射线理论：几何光学、Kelvin尾迹

2.4 边界层理论：热边界层、流体边界层

2.5 Lubrication理论

2.6 多尺度分析：周期系数的线性常微分方程的稳定性（Mathieu方程）、偏微分方程中的多重尺度方法

3.渐近分析的应用：近壁流动的稳定性与转捩

第六章 几何方法（5课时）

1.相平面法：几何的思维方式

2.混沌：来自大气科学的洛伦兹方程

3.应用：传染病模型

第七章 数值方法简介（3课时）

1.时间离散方法简介：Runge-Kutta法

2.空间离散方法简介：有限差分法、有限体积法、谱方法

3.矩阵计算

3.1 线性方程组求解

3.2 特征值计算: Google排序算法

4.计算力学的发展历史与展望

章节/学时分配 讲课 习题课 实验课 上机课 讨论课 其它 第一章 2           第二章 15 3         第三章 12 2         第四章 3           第五章 20 3         第六章 5 2         第七章 3           总计 60 10

将应用数学和理性力学的文化思想与“课程思政”有机地融合在一起；当引入新的知识时，介绍数学和力学大家们创立理论和方法的背景与来龙去脉，以及这些方法理论的最新发展与应用，激发学生的求知欲，激励学生发奋学习，积极向上，勇于创新。比如在讲解Schr?dinger方程的推导及求解时，介绍这一著名方程的创立过程，即量子力学理论创立初期所经历的巨大争论，以及以玻尔和海森堡为代表的概率统计学派获得胜利的根本原因，同时介绍其它著名学派的理论与缺陷，通过这些介绍让学生学习科学家严谨求实的态度与契而不舍的探索精神；进一步地，将量子力学争论中曾经失败的理论之一“德布罗意-玻姆引导波理论”与流体力学的前沿研究联系起来，即利用法拉第波展现宏观水动力学与微观量子力学的相似性，让学生深刻体会到失败并不意味着终结，失败的理论也有成长发展的空间，在恰当的时候有可能在其它学科中找到完美的应用；让学生体会到数学物理的应用之美，激发学生将数理理论应用于力学问题的兴趣。
根据本课程的特点和要求，加大实践育人力度，持续向学生传达数学与力学和谐统一的观点，引导学生运用所学理论知识分析、发现、解决工程实践和实际生活中的力学问题，实现理论学习和知识应用的有机统一，让学生在数与力的完美结合中深化认识、提升感悟、锻炼成长。

1.李家春，周显初（1999）数学物理中的渐近方法，科学出版社。
2.林家翘，西格尔（2010）自然科学中确定性问题的应用数学，科学出版社。

1.柯朗，希尔伯特（2011）数学物理方法 I，科学出版社。
2.柯朗，希尔伯特（2011）数学物理方法 II，科学出版社。
3.姜礼尚，陈亚浙，刘西垣，易法槐（1996）数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版社。

王展，中国科学院力学研究所研究员，毕业于美国威斯康星大学麦迪逊分校应用数学与流体力学专业。曾先后在伦敦大学学院和巴斯大学开展科研和教学工作。其研究方向包括大气地球物理流体力学、非线性波动理论、自由边界问题及流固耦合等。