泛函分析

课程编码：B0112007Y 英文名称：Functional Analysis 课时：60 学分：3.00 课程属性：专业课 主讲教师：韩丕功

本课程为中国科学院大学本科生的数学与应用数学专业选修课。 本课程主要介绍泛函分析的一些主要基本内容，包括Hahn-Banach定理、Banach-Steinhaus定理、开映射定理和闭图像定理、弱拓扑概念；空间理论（ image 空间、Banach空间 、Hilbert空间、自反空间、可分空间、一致凸空间等）；算子和算子谱理论（无界算子、共轭算子、紧算子等）。通过本课程的学习，要求学生掌握泛函分析的基本概念、方法、技巧和一些重要定理，为进一步学习现代数学和从事数学研究工作打下坚实的基础。

实分析

第一章 Hahn-Banach定理与共轭凸函数理论。

掌握Banach空间定义、例子、Banach压缩映象原理、Arzela定理，掌握Hahn-Banach定理的解析形式与几何形式。理解共轭凸函数理论简介。 教学重点： 关于线性泛函延拓的Hahn-Banach定理， 凸集的分离；难点：Fenchel-Moreau定理。 
第二章 Banach-Steinhaus定理，闭图像定理。 
掌握Baire引理、Banach-Steinhaus定理、开映射定理和闭图像定理。理解拓扑余子空间，右（左）可逆算子，直交关系，掌握无界线性算子，有界线性算子，共轭算子，闭图像算子的刻画，满射算子。教学重点：Banach-Steinhaus定理；开映射定理；闭图像定理；难点：共轭算子。 
 
第三章 弱拓扑，自反空间，可分空间，一致凸空间。 
掌握弱拓扑、弱*拓扑、凸集、线性算子、自反空间、可分空间、一致凸空间的定义和性质。教学重点：弱拓扑，Banach-Alaoglu-Bourbaki定理，Kakutani定理，Milman-Pettis定理；难点：不同拓扑之间的联系与区别。 
 
第四章  空间。 
掌握收敛定理与积分换序定理、空间的定义和性质（可分性，自反性，对偶空间，稠密性，紧性等）。教学重点：Fischer-Riesz定理，Riesz表示定理，自反性的证明；难点：自反性的证明，M.Riesz-Fréchet-Kolmogorov定理. 
 
第五章 Hilbert 空间。 
掌握Hilbert 空间的定义和性质、闭凸集上的投影、对偶空间。教学重点：Banach不动点定理，Lax-Milgram定理；难点：Stampacchia定理。 
 
第六章 紧算子，自共轭紧算子的谱分解。 
掌握紧算子和自共轭算子的定义和性质、Riesz-Fredholm理论、紧算子的谱、自共轭紧算子的谱分解。教学重点：自共轭紧算子的谱分解；难点：Fredholm选择定理。 

第一章 讲课12 习题课4

第二章 讲课10 习题课2

第三章 讲课12 习题课4

第四章 讲课10 习题课2

第五章 讲课8 习题课2

第六章 讲课8 习题课2

泛函分析是高度抽象的学科，教学中注重联系实际，联系其它数学分支、物理、通讯等学科、方向，尽量多介绍一些应用。同时介绍数学家的探索精神和国内外著名数学家的故事和在泛函分析领域的贡献。如：波兰人民为荣的著名数学家Stefan Banach，对泛函分析的发展做出了突出贡献，这里有以此命名的Banach空间；介绍引领20世纪数学发展的著名数学家David Hilbert，这里有以此命名的Hilbert空间，激发同学们的独立思考、努力探求未知的科学家精神和爱国情怀。

Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations，Haim Brezis，Springer，2011 .

《泛函分析讲义》，张恭庆, 林源渠，北京大学出版社， 第1版 (1987)。

考核方式：闭卷考试，期中30%、期末50%、平时成绩20%。