微分几何
课程编码：B0111006Y
英文名称：Differential Geometry
课时：80
学分：4.00
课程属性：专业必修课
主讲教师：李向东
中文介绍
英文介绍
教学目的要求
本课程是数学专业本科生必修基础课。要求学生通过本门课程的学习，掌握3维欧氏空间中曲线与曲面的局部理论、曲面的内蕴几何，以及微分几何在物理上的应用。
预修课程
微积分，线性代数、常微分方程
主要内容
本课程主要讲述曲线和曲面的微分几何，以及微分几何在物理中的应用。具体内容及学时分配如下：
一、平面曲线与空间曲线 （14学时）
平面曲线（2学时）
例子（2学时）
平面曲线的基本定理（2学时）
空间曲线（2学时）
例子（2学时）
空间曲线的基本定理（2学时）
曲线论的整体性结果（2学时）
二、曲面上的微积分（14学时）
空间中的曲面（2学时）
例子（2学时）
向量场、流与Lie导数（2学时）
微分形式与外微分计算（2学时）
微分形式的积分（2学时）
Stokes定理（2学时）
de Rham cohomology 理论（2学时）
三、空间中曲面的局部理论 （16学时）
第一第二基本型 （2学时）
主曲率、Gauss曲率与平均曲率（2学时）
高斯映射以及基本性质（2学时）
例子（2学时）
活动标架法 （2学时）
Gauss绝妙定理的证明（2学时）
极小曲面（2学时）
曲面论基本定理（2学时）
四、曲面上的内蕴几何 （14学时）
曲面上的黎曼度量 （2学时）
例子：球面、双曲平面、上半平面（2学时）
联络与曲率（2学时）
曲面的结构方程 （2学时）
协变导数与平行移动 （2学时）
测地线与第一变分公式 （2学时）
测地线的二阶变分 （2学时）
五、Gauss-Bonnet定理 （6学时）
区域上的Gauss-Bonnet定理（2学时）
闭曲面上的Gauss-Bonnet定理 （4学时）
六、 微分几何在物理上的应用 （10学时）
变分法（2学时）
Euler-Lagrange方程 （2学时）
Legendre变换（2学时）
Hamilton方程 （2学时）
Liouville定理 （2学时）
课时分配
同上
课程思政
微分几何是现代数学的重要组成部分，与现代数学的许多分支（拓扑学、常微分方程、偏微分方程、动力系统、概率论等）及物理学（力学、电磁学、天体力学、相对论）、航空航天等学科有着密切的联系。微分几何的发展历史本身就是人类探索世界和科学发展的一部精彩纷呈的历史画卷。为培养国家所需要的高水平创新人才，我们必须认真学习和掌握微分几何的基础知识，并了解微分几何在其他学科上的应用。
教材
S. Kobayashi, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Spring, 2019.
V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, 1989, 中译本：经典力学的数学方法， 齐民友译，高等教育出版社，2006.
参考文献
1. 陈省身，微分几何讲义，Lectures on Differential geometry, 世界图书出版公司， 2006
2. Manfredo do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces，中译本，曲线与曲面的微分几何，田畴等译，机械工业出版社，2006.
课程教师信息
李向东：1999/2000年获中科院应用数学研究所和里斯本大学博士学位；2000-2003年在牛津大学数学研究所做博士后，2003-2008年任法国图卢兹第三大学任Maitre de Conferences（副教授），2007年获法国图卢兹大学Habilitation（教授资格证书）, 2008-2009年任复旦大学数学科学学院教授。自2009年12月起入职中科院数学与系统科学研究院，任中科院百人计划研究员、华罗庚应用数学首席研究员、研究员。2015年起任中国科学院大学岗位教授。主要研究领域为随机分析与随机微分几何。
其它说明
期中、期末：闭卷三小时。总评成绩：期中（30%）+期末（40%）+平时作业、课堂上黑板回答等（30%）